POLIGONAL

POLIGONALES

El uso de poligonales es uno de los procedimientos topográficos más comunes. Se usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles y elaboración de planos, para el replanteo de proyectos y para el control de ejecución de obras.

Una poligonal es una sucesión de líneas quebradas, conectadas entre sí en los vértices. Para determinar la posición de los vértices de una poligonal en un sistema de coordenadas rectangulares planas, es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos.

En forma general, las poligonales pueden ser clasificadas en:

• Poligonales Cerradas: En las cuales el punto de inicio es el mismo punto de cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal.

• Poligonales Abiertas: De enlace con control de cierre en las que se conocen las coordenadas de los puntos inicial y final, y la orientación de las alineaciones inicial y final, siendo también posible efectuar los controles de cierre angular y lineal.

• Poligonales Abiertas Sin Control: En las cuales no es posible establecer los controles de cierre, ya que no se conocen las coordenadas del punto inicial y/o final, o no se conoce la orientación de la alineación inicial y/o final.

Posición Relativa de puntos en el Terreno

Se sabe que una de las finalidades de la topografía plana es la determinación de la posición relativa de los puntos sobre el terreno, tanto en planta como en alzado, elevación o perfil.

Si se conoce la posición y orientación de una línea dada AB y se desea conocer la posición relativa del punto P, se pueden emplear los siguientes métodos:

 Radiación: Medición de un ángulo y una distancia tomados a partir de un extremo de la línea de referencia. 

  
Trilateración: Medición de las dos distancias tomadas desde los dos extremos de la línea de referencia.

Intersección de visuales: Medición de los dos ángulos medidos desde los extremos de la línea de referencia, lo cual se conoce también como base medida. Se conforma un triángulo, donde se conocen tres elementos: una distancia y dos ángulos, que mediante la aplicación de la ley de los senos pueden calcular las distancias desde los extremos de AB al punto P.

• Intersección directa: Medición de la distancia desde un extremo y la medición del ángulo desde el otro extremo. Los datos faltantes se pueden calcular mediante la generalización de la fórmula de Pitágoras ó la ley del coseno.

• Mediciones por Izquierdas y Derechas: Medición de la distancia perpendicular en un punto definido de una línea definida.

• Intersección Inversa: Medición de dos ángulos desde el punto por localizar a tres puntos de control de posición conocida, método conocido como trisección. Si la determinación de las coordenadas de un punto se hace observando únicamente dos puntos de posición conocida se conoce como bisección.

Tipos De Ángulos Horizontales Medidos En Los Vértices De Poligonales

Una poligonal en topografía se entiende como una sucesión de alineamientos, que puede ser abierta o cerrada y que sirven de esquema geométrico de referencia para los levantamientos topográficos. En cada uno de los vértices se pueden medir tres tipos de ángulos:

• Ángulos de derecha: Son los ángulos medidos en el sentido horario o de las manecillas del reloj, los cuales se consideran de signo positivo, ya que tienen el mismo sentido del azimut.

• Ángulos de izquierda: Son los ángulos medidos en sentido antihorario o contrario al de las manecillas del reloj. Se consideran de signo negativo por ir en sentido contrario al azimut.

• Ángulos de deflexión o de giro: Son los ángulos medidos entre la prolongación del alineamiento anterior y el alineamiento siguiente y puede ser de sentido izquierdo I (-) ó derecho D (+).

Mientras que los ángulos de derecha e izquierda están entre 0° y 360°, los ángulos de deflexión o de giro están entre 0° y 180°.

POLIGONAL ABIERTA

En este tipo de levantamientos se realiza una medición de ángulos horizontales y distancias que finalmente para el cálculo de los datos de campo se convierte en un trabajo sencillo ya que no requiere controles de cierre angular y lineal.

A continuación un ejemplo de solución de una poligonal abierta.

Punto	Ángulos	Azimut	Dist.	NS	EW	Norte	Este
D0		134°	50.4	-35.011	36.255	958.231	854.123
D1	112°28’ 45’’	66°28’ 45’’	63.3	25.262	58.041	923.22	890.378
D2	199°07’31’’	85°36’16’’	40.2	3.081	40.082	948.482	948.419
D3	242°56’12’’	148°32’28’’	20.1	-17.146	10.490	951.563	988.501
A						934.417	998.991

Calculo de Azimut

Para los ángulos trabajados en este ejemplo:

Az= (Az anterior ±180 + < corregido); si este resultado es mayor a 360˚ se restan 360˚

Cálculos de las Proyecciones

Se utilizan las fórmulas:

Proyecciones NS = cos (azimut) x distancia   Las positivas son Norte y negativas Sur    

Proyecciones EW = sen (azimut) x distancia  Las positivas son Este y negativas Oeste

Calculo de las Coordenadas

Se inicia con la coordenadas del punto D₀ según el signo se le aplican las proyecciones respectivas a dicho punto (D₀) para obtener las coordenadas de D₁  que se le deben aplicar las proyecciones en D₁ para calcular las de D₂ y así  sucesivamente D₃ y el punto A.

POLIGONAL CERRADA

El método de Poligonación consiste en el levantamiento de una poligonal. Una poligonal es una línea quebrada, constituida por vértices (estaciones o deltas) y lados que unen dichos vértices. Los vértices adyacentes deben ser visibles. El levantamiento de la poligonal comprende la medición de los ángulos que forman las direcciones de los lados adyacentes y las distancias entre los vértices.

Una poligonal cerrada tiene controles angulares y lineales y por lo tanto los errores de las mediciones pueden corregirse o compensarse.

Fig. 1. Poligonal cerrada

Cuando se mide utilizando una poligonal cerrada se puede realizar el recorrido en sentido horario o antihorario.

Cuando el recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj los ángulos resultantes son ángulos externos y la fórmula para el cierre angular teórico equivale a

Suma teórica de ángulos externos:180 (n+2)  n es el número de vértices.

En el recorrido antihorario los ángulos resultantes son internos y la formula para el cierre angular teórico es

Suma teórica de ángulos internos:180 (n-2)  n es el número de vértices

Esta suma teórica nos sirve para comparar y darnos cuenta que diferencia existe con la sumatoria de ángulos hallados en el trabajo  de campo para hallar finalmente el cierre angular. 

POLIGONAL CERRADA IDEAL

En una poligonal cerrada al hacer el recorrido y regresar al mismo punto las coordenadas de la primer estación son las mismas que las de la última, entonces la suma algebraica de las proyecciones en sentido norte debe ser igual a cero y la suma algebraica de las proyecciones en sentido este debe ser igual a cero. 

En la figura anterior podemos observar:

El recorrido en el sentido Norte de  A hasta B aumenta 1.5, de B hasta C disminuye 1.5, de C hasta D disminuye 1.0, de D hasta A  aumenta 1.0 si hacemos la sumatoria de estas proyecciones sería así:

Proyecciones Norte-Sur=1.5-1.5-2.0+1.0 =O

El recorrido en el sentido Este de  A hasta B aumenta 1.5, de B hasta C aumenta 2.5, de C hasta D disminuye 2.0, de D hasta A  disminuye 2.0 si hacemos la sumatoria de estas proyecciones sería así:

Proyecciones Este-Oeste=1.5+2.5-2.0+1.0 =O

CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA

Para calcular una poligonal cerrada se consignan los datos obtenidos en campo en una tabla a la que normalmente se le llama cartera de topografía a continuación se observa el gráfico del ejemplo trabajado en clase y la cartera:

En este ejemplo tenemos una poligonal de cuatro vértices o puntos; para realizar los cálculos debemos  tomar en campo el azimut en el punto inicial para dar una orientación con respecto al norte para toda la figura, las cuatro distancias y los cuatro ángulos externos ya que el recorrido en este ejemplo es en el sentido horario.

CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA
	Angulo Observado	Angulo Corregido	Azimut	Dist.	Rumbo	Proyecciones				NS	EW	N	E
						N	S	E	W
A			107˚22΄00˝	11.41	S72˚38΄00˝E		-3.406	10.890		-3.4083	10.884	1000.000	1000.000
B	267˚55΄10˝	267˚57΄20˝	195˚19΄20˝	19.86	S15˚19΄20˝ W		-19.154		-5.248	-19.1581	-5.258	996.592	1010.884
C	267˚44΄50˝	267˚47΄00˝	283˚06΄20˝	15.41	N76˚53΄40˝W	3.494			-15.009	3.4908	-15.016	977.434	1005.626
D	283˚05΄10˝	283˚07΄20˝	26˚13΄40˝	21.27	N26˚13΄40˝E	19.080		9.400		19.0756	9.39	980.925	990.610
A	261˚06΄10˝	261˚08΄20˝	107˚22΄00˝									1000.000	1000.000
∑	1079˚51΄20˝	1080˚		67.95		22.574	-22.56	20.29	-20.257	0.0	0.0

Cierre Angular

En este caso se ajustan solo los ángulos de los deltas que son los que componen el polígono como tal:

Sumatoria angular teórica=  180(n+2)=180(4+2)= 1080; donde n es el número de vértices o deltas del polígono.

Sumatoria angular =1079˚ 51’ 20”

Error angular total = 1080˚ - 1079˚ 51’ 20” = 00˚ 08’ 40”

Error angular en cada punto = 00˚ 08’ 40”÷ 4= 00˚02’10”

Este error debe ser aplicado con signo positivo a cada ángulo observado para calcular los ángulos corregidos que al sumarlos coincidan con la suma teórica.

Calculo de Azimut

Para los ángulos externos que son los trabajados en este ejemplo:

Az= (Az anterior ±180 + < corregido); si este resultado es mayor a 360˚ se restan 360˚

Para los ángulos internos: (Cuando se realiza el recorrido en sentido anti-horario)

Az= (Az anterior ±180 - < corregido); si este resultado es mayor a 360˚ se restan 360˚

Calculo del Rumbo

Se calcula el rumbo a partir de los azimutes obtenidos en la columna 3.

Cálculos de las Proyecciones

Se utilizan las formulas:

Proyecciones NS = cos (azimut) x distancia   Las positivas son Norte y negativas Sur    

Proyecciones EW = sen (azimut) x distancia  Las positivas son Este y negativas Oeste 

Para compensar las proyecciones se usa las proyecciones de los puntos y la longitud (L) se calcula solo con las distancias entre los deltas.

L= 67.95m

Δ_NS = ∑ Norte- ∑ Sur = 22.574 – 22.56 = 0.014

Δ_EW = ∑ Este - ∑ Oeste = 20.29 – 20.257 = 0.033

Se calculan los factores de corrección de cada uno de los puntos con la formula:

C_{NS =} (Δ_NS ÷  L) x cada distancia

C_{EW =} (Δ_EW ÷  L) x cada distancia

Pto	NS	EW	Pto
A	-0.0023	-0.006	A
B	-0.0041	-0.010	B
C	-0.0032	-0.007	C
D	-0.0044	-0.010	D
Total	-0.014	-0.033

Las proyecciones Norte-Sur  dan una diferencia positiva (Δ_NS) lo que quiere decir que las correcciones deben ser de signo negativo y ocurre lo mismo en el caso de las proyecciones Este-Oeste dan una diferencia positiva (Δ_EW) por tanto las correcciones deben ser de signo negativo.  Se suman con su respectivo signo a las proyecciones iniciales.

Al sumar las proyecciones corregidas debe dar cero perfecto ó los decimales para metros y cm. deben equivaler a cero, de ahí en adelante estaríamos considerando fracciones de milímetro que no vale la pena tener en cuenta. 

Calculo de las Coordenadas

Con las proyecciones corregidas se calculan las coordenadas tomando en este caso como coordenadas arbitrarias una cifra grande como 1000 al norte y 1000 al este para el punto A según el signo se le aplican las proyecciones respectivas a dicho punto (A) para obtener las coordenadas de B que se le deben aplicar las proyecciones en B para calcular las de C y así  sucesivamente; al final se calculan nuevamente las de A que deben ser como mínimo 999.9999 para que al aproximar a tres decimales de 1000.000

Las coordenadas iniciales se toman de acuerdo a los valores de las proyecciones de manera que finalmente no den negativas en ningún caso.

  

Calculo de la Precisión de una Poligonal

Se calcula primero el Error Total

 =  =0.036

Precisión = Longitud ÷ Error Total = 67.95 ÷ 0.036 = 1887.5

Al momento de expresar la precisión se debe hacer con un número entero aproximado en una fracción representativa teniendo en cuenta que la escala es para el momento de dibujar en este caso la precisión se expresaría:

1: 1900  

Bibliografía:

Este documento es una síntesis de comentarios y ejemplos del autor, artículos obtenidos en Internet y libros descritos a continuación:

1.   http://www.topografiaglobal.com.ar/teoria.php

2.   www.cartesia.org/

3.   http://nivel.euitto.upm.es/~mab/tematica/htmls/proyecciones.html

4.   WOLF. Paul; BRINKER Russell. Topografía. Mexico. Alfaomega. 2006

5. Torres, Nieto Alvaro. Topografía.Prentice Hall.2001